Question

1．觀察下列一組數(shù)：$\frac{1}{6}$，$\frac{4}{25}$，$\frac{8}{62}$，$\frac{13}{123}$…，它們是按一定規(guī)律描列的，那么這一組數(shù)的第n²個(gè)數(shù)是$\frac{\frac{1}{2}{n}^{4}+\frac{3}{2}{n}^{2}-1}{{n}^{6}+{3n}^{4}+{3n}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)已知發(fā)現(xiàn)分子的變化規(guī)律為1+3=4，4+4=8，8+5=13，13+6=19，…第n項(xiàng)的分子為1+3+4+5+…+（n+1）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-1；分母為6=2³-2，25=3³-2，62=4³-2，123=5³-2，…第n項(xiàng)的分母為（n+1）³-2=n³+3n²+3n-1，由此可得第n項(xiàng)；易得n²項(xiàng)．

解答 解：由已知得，
分子為1+3=4，4+4=8，8+5=13，13+6=19，
…
∴第n項(xiàng)的分子為1+3+4+5+…+（n+1）=1+$\frac{1}{2}$（3+n+1）（n-1）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-1，
分母為6=2³-2，25=3³-2，62=4³-2，123=5³-2，
…
∴第n項(xiàng)的分母為（n+1）³-2=n³+3n²+3n-1，
∴第n個(gè)數(shù)為$\frac{\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n-1}{{n}^{3}+{3n}^{2}+3n-1}$
∴n²個(gè)數(shù)為：$\frac{\frac{1}{2}{n}^{4}+\frac{3}{2}{n}^{2}-1}{{n}^{6}+{3n}^{4}+{3n}^{2}-1}$．
故答案為：$\frac{\frac{1}{2}{n}^{4}+\frac{3}{2}{n}^{2}-1}{{n}^{6}+{3n}^{4}+{3n}^{2}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)分子分母的變化規(guī)律，求出第n個(gè)數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．