Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點，過點B的拋物線y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+m的頂點P在這條直線上，以AB為邊向下方做正方形ABCD．
（1）當m=2時，k=$\frac{1}{2}$，b=1；當m=-1時，k=$\frac{1}{2}$，b=-2；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m的代數(shù)式分別表示k與b，并證明你的結(jié)論；
（3）當正方形ABCD的頂點C落在拋物線的對稱軸上時，求對應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當正方形ABCD的頂點D落在拋物線上時，直接寫出對應(yīng)的直線y=kx+b的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）將m的值代入可求得點P的坐標，將x=0代入求得y的值，從而可得到點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）由函數(shù)解析式得到點P的坐標，將x=0代入可求得y的值，從而得到點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得AB的解析式，從而得到k、b的值；
（3）過點C作CE⊥y軸，垂足為E．然后證明△ABO≌△BCE，從而可得到點B的坐標，然后由點B的坐標可求得點m的值；
（4）當點B在y軸的正半軸上時，過點D作DE⊥x軸與點E．然后證明△ABO≌△DAE，從而可得到點D的坐標，然后將點D的坐標代入函數(shù)解析式可求得m的值，從而得到直線AB的解析式；當點B在y軸的負半軸上時，證明△ABO≌△DAE，從而可得到點D的坐標，然后將點D的坐標代入函數(shù)解析式可求得m的值，從而得到直線AB的解析式．

解答 解：（1）當m=2時，y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，
∴P（2，2）．
把x=0代入得：y=1，
∴B（0，1）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+1，
將點P的坐標（2，2）代入得：2k+1=2，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴k=$\frac{1}{2}$，b=1．
當m=-1時，y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²-1．
∴P（2，-1）．
把x=0代入得：y=-2，
∴B（0，-2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx-2，
將點P的坐標（2，-1）代入得：2k-2=-1，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴k=$\frac{1}{2}$，b=-2．
故答案為：$\frac{1}{2}$；1；$\frac{1}{2}$；-2．

（2）k=$\frac{1}{2}$，b=m-1．
證明：∵y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+m，
∴拋物線的頂點坐標為（2，m）．
把x=0代入得：y=m-1．
∴b=m-1．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m-1．
將x=2，y=m代入得：2k+m-1=m，解得k=$\frac{1}{2}$．

（3）如圖1所示，過點C作CE⊥y軸，垂足為E．

∵ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=90°．
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBC．
在△ABO和△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠EBC}\\{∠AOB=∠BEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCE．
∴EC=OB=2．
∴m-1=2．
∴m=3．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+3．

（4）如圖2所示當點B在y軸的正半軸上時，過點D作DE⊥x軸與點E．

由（2）可知：直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m-1．
當x=0時，y=m-1，當y=0時，x=2-2m．
∴OA=2m-2，OB=m-1．
∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAO=∠ADE．
在△ABO和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ADE}\\{∠AOB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE=OB=1-m，ED=AO=2m-2．
∴D（1-m，2-2m）．
∵點D在拋物線上，
∴2-2m=-$\frac{1}{4}$（-m-1）²+m，解得m=9或m=1（舍去）．
∴直線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+9．
如圖3所示：當點B在y軸的負半軸上時，

當x=0時，y=m-1，當y=0時，x=2-2m．
∴OA=2-2m，OB=1-m．
∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAO=∠ADE．
在△ABO和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ADE}\\{∠AOB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE=OB，ED=AO．
∴D（3-3m，2m-2）．
∵點D在拋物線上，
∴2m-2=-$\frac{1}{4}$（1-3m）²+m，解得m=-$\frac{7}{9}$或m=1（舍去）．
∴直線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{7}{9}$．
綜上所述，直線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+9或y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{7}{9}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定，用含m的式子表示出點D的坐標是解題的關(guān)鍵．