Question

5．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，若∠1=∠2=∠3=∠4，則稱四邊形EFGH為矩形ABCD的反射四邊形．
（1）如圖1，求證：反射四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖2，若AB=6，BC=8，求反射四邊形EFGH的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的四邊形是平行四邊形證明得結(jié)論；
（2）作輔助線，構(gòu)建直角三角形ENM，求得EN=8，MN=6，可得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠HGF=180°，∠3+∠4+∠HEF=180°，
∴∠HGF=∠HEF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AHE=∠DHG=∠GFC=∠EFB，
同理得：∠EHG=∠EFG，
∴反射四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖2，延長(zhǎng)EF、DC交于M，過(guò)E作EN⊥DC于N，
∴EN=AD=8，
∵AB∥DC，
∴AB∥DM，
∴∠M=∠4，
∵∠2=∠4，
∴∠M=∠2，
∴GF=FM，
∵FC⊥FM，
∴CG=CM，
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EF=GH，
∵∠B=∠D，∠4=∠1，
∴△BEF≌△DGH，
∴DG=BE，
∵BE=CN，
∴DG=CN，
∴CM+CN=CG+DG=6，
即MN=6，
在Rt△ENM中，EM=10，
即EF+FG=10，
∴反射四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2×10=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定，第一問(wèn)熟練掌握平行四邊形的判定方法是關(guān)鍵；第二問(wèn)輔助線的作法是關(guān)鍵．