Question

6．已知直線l：y=-2x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，平移直線l交y=$\frac{k}{x}$于C、D兩點(diǎn)，且CD=2AB，若AC=5，則k=16．

Answer 1

分析 先由直線l：y=-2x+2與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，求出A（1，0），B（0，2），得出OA=1，OB=2，
由△AOB∽△CED，得出DE=4，CE=2，設(shè)D（a，b），則C（a+2，b-4），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出ab=（a+2）（b-4），得出b=4+2a①，在RT△ACM中，根據(jù)勾股定理得出A（a+1）²+（b-4）²=5²，得出a²+b²+2a-8b=8②，把①代入②得到關(guān)于a的方程，解方程確定a的值，從而確定k的值．

解答 解：如圖，∵直線l：y=-2x+2與x軸y軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2；y=0時(shí)，-2x+2=0，x=1；
∴A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∵△AOB∽△CED，
∴$\frac{DE}{OB}$=$\frac{CE}{OA}$=$\frac{CD}{AB}$
∵CD=2AB，
∴DE=4，CE=2，
設(shè)D（a，b），則C（a+2，b-4），
∴ab=（a+2）（b-4），
化簡(jiǎn)得b=4+2a①，
在RT△ACM中，AM=a+2-1=a+1，CM=B-4，
∴AC²=（a+1）²+（b-4）²=5²，
化簡(jiǎn)得，a²+b²+2a-8b=8②，
把①代入②得，a²+（4+2a）²-2a+8（4+2a）=8，
整理得，5a²+2a-24=0，
解得a₁=2，a₂=-$\frac{12}{5}$（舍去），
∴b=4+2×2=8，
∴k=ab=2×8=16．
故答案為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換，三角形相似的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．