Question

1．已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖1所示的位置放置，點(diǎn)B、D重合，且點(diǎn)E、B（D）、C在同一條直線上．其中∠DEF=90°，∠EDF=30°，AB=DE=$6\sqrt{3}$，現(xiàn)將△DEF沿直線BC以每秒$\sqrt{3}$個單位向右平移，直至E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

（1）試求出在平移過程中，點(diǎn)F落在△ABC的邊上時的t值；
（2）試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)D與C重合時（如圖2），DF與AB交于G點(diǎn)，點(diǎn)H為直線DF上一動點(diǎn)，現(xiàn)將△BDH繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACK，是否存在點(diǎn)H，使得△ACK為等腰三角形？若存在，連接AF，并求出△AFK的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分當(dāng)F在邊AB上時和在AC邊上時，兩種情況進(jìn)行討論，分別利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得移動的距離，即可求得時間；
（2）根據(jù)（1）得到的時間，即可根據(jù)t的范圍分情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積公式即可得到函數(shù)解析式；
（3）首先求得當(dāng)B，H，K在一條直線上時CK的長度，然后利用：△BHK的面積、△BCK的面積、△XKH的面積、△BCH的面積之間的關(guān)系，即可得到一個關(guān)于CK的長度的方程，解得CK的長度．

解答 （1）當(dāng)F在邊AB上時，如圖（1），

作AM⊥BC，則AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6$\sqrt{3}$=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴$\frac{BE}{BM}$=$\frac{EF}{AM}$，即$\frac{BE}{3\sqrt{3}}$=$\frac{6}{9}$，解得：BE=2$\sqrt{3}$，則移動的距離是：6$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，則t=$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=8；
當(dāng)F在AC上時，如圖（2）

同理可得：EC=2$\sqrt{3}$，則移動的距離是：2×6$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$，則t=$\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=10，
故t的值是：8或10；
（2）當(dāng)0＜t≤6時，重合部分是三角形，如圖（3），

設(shè)AB與BE交于點(diǎn)N，
則BD=$\sqrt{3}$t，
則NB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，ND=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，則s=$\frac{1}{2}$NB×ND=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$t²；
當(dāng)6＜t＜10時，如圖（4），

則CD=$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$，
則在直角△THC中，TH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$TC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{2}$t-9，
則s=18-$\frac{1}{2}$CD×TH=18-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）（$\frac{3}{2}$t-9）=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（t-6）²+18；
當(dāng)10≤t＜12時，重合部分如圖（5），

EC=12$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
則直角△ECJ中，EJ=$\sqrt{3}$EC=$\sqrt{3}$（12$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），
則s=$\frac{1}{2}$EC×EJ=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（12$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（12-t）²．
（3）如圖（6）

當(dāng)B，H，K在一條直線上時，CH=CK=BC×tan30°=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=6，
設(shè)CH=x，作HL⊥BC于點(diǎn)L，則HL=$\frac{1}{2}$x，
△CKH是邊長是x的等邊三角形，則面積是$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
△BCH的面積是：$\frac{1}{2}$BC×HL=3$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，
△BCK的面積是：3$\sqrt{3}$x．
當(dāng)0＜CH＜6時，△BHK的面積=△BCK的面積-△CKH的面積-△BCH的面積，
即3$\sqrt{3}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²=4$\sqrt{3}$，方程無解．
當(dāng)CH＞6時，△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積-△BCK的面積，
即$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x-3x$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
解得：x=8或-2（舍去），故x=8
∴CH=8．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確對t的情況進(jìn)行分類是關(guān)鍵．