Question

3．直線y=x+4分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M，N，邊長為2的正方形OABC一個(gè)頂點(diǎn)O在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線AN與MC相交于點(diǎn)P，若正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）長度的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-2
• B． 3-2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． 1

Answer 1

分析 首先證明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN為直徑的圓上，所以當(dāng)圓心G，點(diǎn)P，C（0，2）三點(diǎn)共線時(shí)，P到C（0，2）的最小值．求出此時(shí)的PC即可．

解答 解：在△MOC和△NOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠MOC=∠AON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△NOA，
∴∠CMO=∠ANO，
∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，
∴∠NCP+∠CNP=90°，
∴∠MPN=90°
∴MP⊥NP，
在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中，同理可證，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，


∴P在以MN為直徑的圓上，
∵M(jìn)（-4，0），N（0，4），
∴圓心G為（-2，2），半徑為2$\sqrt{2}$，
∵PG-GC≤PC，
∴當(dāng)圓心G，點(diǎn)P，C（0，2）三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小，
∵GN=GM，CN=CO=2，
∴GC=$\frac{1}{2}$OM=2，
這個(gè)最小值為GP-GC=2$\sqrt{2}$-2．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)與幾何變換、正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在以MN為直徑的圓上，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．