Question

1．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；
（2）如果點F在線段AE上（不與點A重合），如圖2，問∠EFD與∠C-∠B有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．
（3）如果點F在△ABC外部，如圖3，此時∠EFD與∠C-∠B的數(shù)量關系是否會發(fā)生變化？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EFD；
（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD；
（3）與（2）的方法相同．

解答 （1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°-50°-30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°-80°=10°．

（2）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）
證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）

（3）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
如圖，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$．
∵∠DEF為△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

點評 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關鍵．