Question

15．如圖，點(diǎn)A，B為直線y=x上的兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線$y=\frac{1}{x}$（x＞0）于C，D兩點(diǎn)．若BD=2AC．
（1）直線y=x與雙曲線$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；
（2）則4CO²-OD²的值為6．

Answer 1

分析 （1）解析式聯(lián)立方程，解方程求得即可；
（2）延長AC交x軸于E，延長BD交x軸于F．設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是a，b，點(diǎn)A、B為直線y=x上的兩點(diǎn)，A的坐標(biāo)是（a，a），B的坐標(biāo)是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．根據(jù)BD=2AC即可得到a，b的關(guān)系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子從而求解．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴直線y=x與雙曲線$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
故答案為（1，1）；
（2）延長AC交x軸于E，延長BD交x軸于F．
設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是a，b，
∵點(diǎn)A、B為直線y=x上的兩點(diǎn)，
∴A的坐標(biāo)是（a，a），B的坐標(biāo)是（b，b）．則AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D兩點(diǎn)在交雙曲線$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上，則CE=$\frac{1}{a}$，DF=$\frac{1}$．
∴BD=BF-DF=b-$\frac{1}$，AC=a-$\frac{1}{a}$．
又∵BD=2AC
∴b-$\frac{1}$=2（a-$\frac{1}{a}$），
兩邊平方得：b²+$\frac{1}{^{2}}$-2=4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2），即b²+$\frac{1}{^{2}}$=4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-6．
在直角△OCE中，OC²=OE²+CE²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$，同理OD²=b²+$\frac{1}{^{2}}$，
∴4OC²-0D²=4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-（b²+$\frac{1}{^{2}}$）=6．
故答案為6．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，正確利用BD=2AC得到a，b的關(guān)系是關(guān)鍵．