Question

11．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點(diǎn)D在AC上，CD=1，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，O為AB中點(diǎn)，連接OH，則OH的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 在BD上截取BE=CH，連接CO，OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 $\frac{CH}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，求得CH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代換得到∠OCH=∠ABD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：在BD上截取BE=CH，連接CO，OE，
∵∠ACB=90°，CH⊥BD，
∵AC=BC=3，CD=1，
∴BD=$\sqrt{10}$，
∴△CDH∽△BDC，
∴$\frac{CH}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴CH=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵△ACB是等腰直角三角形，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，
∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，
∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，
在△CHO與△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=BE}\\{∠HCO=∠EBO}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△CHO≌△BEO，
∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，
∵OC⊥BO，
∴∠EOH=90°，
即△HOE是等腰直角三角形，
∵EH=BD-DH-CH=$\sqrt{10}$-$\frac{\sqrt{10}}{10}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴OH=EH×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．