Question

8．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，BE，CE，∠AEB=90°，若AE=2，BE=3，則CE=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，由四邊形ABCD是正方形，得到∠ABC=90°，由四邊形BHEG是矩形，得到EG=BH，BG=EH，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，根據(jù)三角形的面積公式得到EG=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，根據(jù)勾股定理得到BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{6}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，根據(jù)勾股定理得到CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

解答 解：作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴四邊形BHEG是矩形，∴
EG=BH，BG=EH，
∵∠AEB=90°，若AE=2，BE=3，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EG=$\frac{1}{2}$AE•BE，
∴$\sqrt{13}$EG=2×3，
∴EG=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，
∴BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{6}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，
∴HE=BG=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，BH=EG=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，
∴CH=BC-BH=$\sqrt{13}$-$\frac{6}{\sqrt{13}}$=$\frac{7}{\sqrt{13}}$，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．