Question

17．在△ABC中，∠ACB是銳角，點D在射線BC上運動，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接EC．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：若AB=AC，∠BAC=90°，當D在線段BC上時（不與點B重合），如圖①所示，請你直接寫出線段CE和BD的位置關系和數(shù)量關系是CE=BD，CE⊥BD；
（2）猜想論證：
在（1）的條件下，當D在線段BC的延長線上時，如圖②所示，請你判斷（1）中結論是否成立，并證明你的判斷．
（3）拓展延伸：
如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動，試探究：當銳角∠ACB等于45度時，線段CE和BD之間的位置關系仍成立（點C、E重合除外）？此時若作DF⊥AD交線段CE于點F，且當AC=3$\sqrt{2}$時，請直接寫出線段CF的長的最大值是$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 （1）線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，根據(jù)旋轉的性質得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
（2）證明的方法與（1）一樣．
（3）過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根據(jù)旋轉的性質得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，則NE=MA，由于∠ACB=45°，則AM=MC，所以MC=NE，易得四邊形MCEN為矩形，得到∠DCF=90°，
由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得$\frac{MD}{CF}=\frac{AM}{DC}$，設DC=x，而∠ACB=45°，AC=$\sqrt{2}$，得AM=CM=3，MD=3-x，利用相似比可得到CF=-$\frac{1}{3}$x²+1，再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值．

解答 解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴線段CE，BD之間的位置關系和數(shù)量關系為：CE=BD，CE⊥BD；
故答案為：CE=BD，CE⊥BD；
（2）（1）中的結論仍然成立．理由如下：
如圖2，
∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以線段CE，BD之間的位置關系和數(shù)量關系為：CE=BD，CE⊥BD；
（3）45°；$\frac{3}{4}$；
過A作AM⊥BC于M，過E點作EN垂直于MA延長線于N，如圖3，
∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠NEC=90°，
∴四邊形MCEN為矩形，
∴NE=MC，∴AM=MC，
∴∠ACB=45°，
∵四邊形MCEN為矩形，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴$\frac{MD}{CF}$=$\frac{AM}{DC}$，設DC=x，
∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴AM=CM=3，MD=3-x，∴$\frac{3-x}{CF}$=$\frac{3}{x}$，
∴CF=-$\frac{1}{3}$x²+x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時有最大值，最大值為$\frac{3}{4}$．
故答案為：45°，$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等腰直角三角形的性質和三角形全等及相似的判定與性質．