Question

12．如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，連接AE，將矩形沿AE翻折，使點B落在CD邊F處，連接AF，在AF上取點O，以O(shè)為圓心，OF長為半徑作⊙O與AD相切于點P．若AB=6，BC=3$\sqrt{3}$，則下列結(jié)論：①F是CD的中點；②⊙O的半徑是2；③AE=$\frac{9}{2}$CE；④S_陰影=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．其中正確結(jié)論的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①易求得DF長度，即可判定；
②連接OP，易證OP∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)即可判定；
③易證AE=2EF，EF=2EC即可判定；
④連接OG，作OH⊥FG，易證△OFG為等邊△，即可求得S_陰影即可解題；

解答 解：①∵AF是AB翻折而來，∴AF=AB=6，
∵AD=BC=3$\sqrt{3}$，∴DF=$\sqrt{{AF}^{2}{-AD}^{2}}$=3，
∴F是CD中點；∴①正確；
②連接OP，

∵⊙O與AD相切于點P，∴OP⊥AD，
∵AD⊥DC，∴OP∥CD，
∴$\frac{AO}{AF}$=$\frac{OP}{DF}$，
設(shè)OP=OF=x，則$\frac{x}{3}$=$\frac{6-x}{6}$，解得：x=2，∴②正確；
③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，
∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，
∴∠EAF=∠EAB=30°，
∴AE=2EF；
∵∠AFE=90°，
∴∠EFC=90°-∠AFD=30°，
∴EF=2EC，
∴AE=4CE，∴③錯誤；
④連接OG，作OH⊥FG，

∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG為等邊△；同理△OPG為等邊△；
∴∠POG=∠FOG=60°，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OG=$\sqrt{3}$，S_扇形OPG=S_扇形OGF，
∴S_陰影=（S_矩形OPDH-S_扇形OPG-S_△OGH）+（S_扇形OGF-S_△OFG）
=S_矩形OPDH-$\frac{3}{2}$S_△OFG=2×$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．∴④正確；
故答案為①②④．

點評 本題考查了矩形面積的計算，正三角形的性質(zhì)，平行線平分線段的性質(zhì)，勾股定理的運用，本題中熟練運用上述考點是解題的關(guān)鍵．