Question

5．如圖，在矩形ABCD中，AC與BD交于點O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為菱形；
（2）如AB=2，AC與BD所夾銳角為60°，求四邊形OCED的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)DE∥AC、CE∥BD判定四邊形ODEC是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四邊形OCED是菱形．
（2）作DM⊥OC，垂足為點M，證明△COD為等邊三角形，得出OC=CD=OD=2，得出CM=1，DM=$\sqrt{3}$CM=$\sqrt{3}$，菱形OCED面積=OC•DM，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED為平行四邊形，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OC=OD，
∴四邊形OCED為菱形；
（2）解：作DM⊥OC，垂足為點M，
∵OC=OD，∠COD=60°，
∴△COD為等邊三角形，
∴OC=CD=OD，
∵AB=2，四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，
∴OC=CD=OD=2，
∵DM⊥OC，
∴CM=1，
∴DM=$\sqrt{3}$CM=$\sqrt{3}$，
∴菱形OCED面積=OC•DM=2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形是等邊三角形是解決問題（2）的關鍵．