Question

19．已知EF∥MN，一直角三角板如圖放置．∠ACB=90°．
（1）如圖1，若∠1=60°，則∠2=30度；
（2）如圖2，若∠1=∠B-20°．則∠2=20度；
（3）如圖3，延長(zhǎng)AC交直線MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，問(wèn)∠GKD是否為定值，若是求值，不是說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)C作CP∥EF，進(jìn)而得到EF∥MN∥CP，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠2的度數(shù)；
（2）過(guò)B作BQ∥EF，進(jìn)而得到EF∥MN∥BQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠2的度數(shù)；
（3）先根據(jù)∠CGN是△CDG的外角，得到∠DCG=∠CGN-∠ADG，再根據(jù)GH平分∠CGN，DK平分∠ADN，即可得出∠KGN=$\frac{1}{2}$∠CGN，∠KDG=$\frac{1}{2}$∠ADG，最后根據(jù)∠KGN是△KDG的外角，且∠ACB=90°，即可得到∠GKD=∠KGN-∠KDG=$\frac{1}{2}$∠CGN-$\frac{1}{2}$∠ADG=$\frac{1}{2}$∠DCG，根據(jù)∠DCG的度數(shù)不變，可得∠GKD為定值45°．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)C作CP∥EF，
∵EF∥MN，
∴EF∥MN∥CP，
∴∠1=∠ACP=60°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=90°-60°=30°，
∵CP∥MN，
∴∠2=∠BCP=30°；
故答案為：30；

（2）如圖2，過(guò)B作BQ∥EF，
∵EF∥MN，
∴EF∥MN∥BQ，
∴∠1=∠ABQ，∠2=∠CBQ，
∴∠1+∠2=∠ABC，
又∵∠1=∠ABC-20°，
∴∠1+20°=∠ABC，
∴∠2=20°；
故答案為：20；

（3）∠GKD為定值45°．
理由：如圖3，∵∠CGN是△CDG的外角，
∴∠DCG=∠CGN-∠ADG，
∵GH平分∠CGN，DK平分∠ADN，
∴∠KGN=$\frac{1}{2}$∠CGN，∠KDG=$\frac{1}{2}$∠ADG，
∵∠KGN是△KDG的外角，且∠ACB=90°，
∴∠GKD=∠KGN-∠KDG=$\frac{1}{2}$∠CGN-$\frac{1}{2}$∠ADG=$\frac{1}{2}$（∠CGN-∠ADG）=$\frac{1}{2}$∠DCG=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
故∠GKD為定值45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決第（3）問(wèn)時(shí)，需要運(yùn)用：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．