Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，DG的長(zhǎng)始終為2．
（1）當(dāng)AD=3時(shí)，求DE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在邊AC、BC上移動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=x，F(xiàn)G=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，△AED與△CEF能否相似？若能，求AD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ADE∽△ACB，得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，由此即可解決問題．
（2）由△BGF∽△BCA，得$\frac{BG}{BC}$=$\frac{FG}{AC}$，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形①當(dāng)∠A=∠CEF時(shí)，△ADE∽△ECF，$\frac{AD}{EC}$=$\frac{ED}{CF}$．②當(dāng)∠A=∠CFE時(shí)，△ADE∽△FCE，$\frac{AD}{FC}$=$\frac{DE}{CE}$，分別列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴BC=8∵ED⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{DE}{8}$，
∴DE=4．

（2）∵FG⊥AB，
∴∠BGF=∠BCA=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BGF∽△BCA，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{FG}{AC}$，
∴$\frac{8-x}{8}$=$\frac{y}{6}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+6．

（3）由（1）（2）可得：AE=$\frac{5}{3}$x，BF=10-$\frac{5}{4}$x，
∴CE=6-$\frac{5}{3}$x，CF=$\frac{5}{4}$x-2，
當(dāng)∠A=∠CEF時(shí)，△ADE∽△ECF，
∴$\frac{AD}{EC}$=$\frac{ED}{CF}$．
∴$\frac{x}{6-\frac{5}{3}x}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{5}{4}x-2}$，
解得：x=$\frac{72}{25}$；
當(dāng)∠A=∠CFE時(shí)，△ADE∽△FCE，
∴$\frac{AD}{FC}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴$\frac{x}{\frac{5}{4}x-2}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{5}{3}x}$，
解得：$\frac{13}{5}$，
∴當(dāng)AD的長(zhǎng)為$\frac{72}{25}$或$\frac{13}{5}$時(shí)△AED與△CEF相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形綜合題、解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的判定方法，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，學(xué)會(huì)分類討論不能漏解，屬于中考�？碱}型．