Question

20．如圖，AE平分∠BAC，交△ABC的外接圓于點E，D是AE上一點，且ED=EB，點D是否是△ABC的內心？為什么？

Answer 1

分析 根據題意得到∠BAE=∠CAE，根據等腰三角形的性質得到∠EBD=∠EDB，根據三角形外角的性質和圓周角定理得到∠ABD=∠DBC，根據內心的概念得到答案．

解答 解：點D是△ABC的內心，
證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵ED=EB，∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠EBC+∠DBC，∠EDB=∠BAE+∠ABD，又∠EBC=∠EAC=∠ABE，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD是∠ABC的平分線，又AE平分∠BAC，
∴點D是△ABC的內心．

點評 本題考查的是三角形的內切圓和內心、三角形的外角的性質以及圓周角定理，掌握三角形的內心是三角形三條角平分線的交點和同弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．