Question

2．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-8，0），B（2，0），y軸交于點(diǎn)C，∠ACB=90°．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得OC的長，即可得到C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得對稱軸，然后代入函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB=8×2=16，
則OC=4，即C的坐標(biāo)是（0，4）．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
則二次函數(shù)的解析式是y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4；
（2）對稱軸是x=$\frac{-8+2}{2}$=-3，
把x=-3代入解析式得y=$\frac{25}{4}$，
則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，$\frac{25}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的解之間的關(guān)系，一元二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）的解就是函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．