Question

17．已知拋物線y=-x²-（m-4）x+3（m-1）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＜0，直線y=kx-1經過點A并與y軸交于點D，且AD•BD=5$\sqrt{2}$，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）拋物線y=-x²-（m-4）x+3（m-1）與x軸交于A，B兩點，即拋物線與x軸有兩個不同的交點，則△＞0，從而求解；
（2）首先解方程，利用m表示出AD和BD的長，根據AD•BD=5$\sqrt{2}$，列方程求得m的值，進而求得解析式．

解答 解：（1）由于拋物線與x軸交于A、B兩點，所以△＞0，
即：（m-4）²+12（m-1）＞0
m²+4m+4＞0
（m+2）²＞0
解得m≠-2
m≠-2即為所求；
（2）由題易得D（0，-1），
設A（a，0），B（b，0），
y=-x²-（m-4）x+3（m-1）中令y=0，
則-x²-（m-4）x+3（m-1）=0，即（x-3）（x+m-1）=0，
∴x₁=3，x₂=1-m．
則不妨設AD=$\sqrt{10}$，則BD=$\sqrt{1+（1-m）^{2}}$，
∵AD•BD=5$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{10}$•$\sqrt{1+（1-m）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴（m+1）（m-3）=0，
解得m=-1或3，因為m＜0，故舍去3
所以m=-1．
所以拋物線的解析式為y=-x²+5x-6．

點評 本題考查了二次函數與一元二次方程，二次函數與x軸的交點的橫坐標就是對應的方程的根．