Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB=120°，點M為△ABC外一點，且∠AMB=60°，若CM平分∠AMB．求證：AM+BM=$\sqrt{3}$CM．

Answer 1

分析 如圖作CE⊥MB于E，CF⊥MA于F．首先證明Rt△CME≌Rt△CMF，推出FM=EM，再證明△ACF≌△BCE，推出AF=BE，推出MA+MB=（AF+FM）+（EM-EB）=2EM，在Rt△CME中，∠CME=30°，可得cos30°=$\frac{EM}{CM}$，推出$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{EM}{CM}$，即2EM=$\sqrt{3}$CM，即可推出AM+BM=$\sqrt{3}$CM．

解答 證明：如圖作CE⊥MB于E，CF⊥MA于F．
∵CM平分∠AMB，
∴CF=CE，
在Rt△CME和Rt△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CME≌Rt△CMF，
∴FM=EM，
∵∠EMF+∠ECF=360°-90°-90°=180°，∠EMF=60°，
∴∠ECF=∠ACB=120°，
∴∠ACF=∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCE}\\{CF=CE}\\{∠AFC=∠E=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF=BE，
∴MA+MB=（AF+FM）+（EM-EB）=2EM，
∵在Rt△CME中，∠CME=30°，
∴cos30°=$\frac{EM}{CM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{EM}{CM}$，
∴2EM=$\sqrt{3}$CM，
∴AM+BM=$\sqrt{3}$CM．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、特殊角的三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．