Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，a）（A在第一象限）、點(diǎn)B（5，0）．連OA，OB，△ABO的面積是7.5．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（t＞0）秒，連接PB，用含t的式子表示△PAB的面積S，并寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在線段AB上，且QB=2AQ，連接PQ，當(dāng)△APQ的面積為1，求t值并直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先確定出OB，再利用△AOB的面積求出a即可得出點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）先確定出AD=3，OD=4，再構(gòu)造出△ODA∽△OEP得出比例式即可表示出PE，用三角形面積的差即可得出結(jié)論；
（3）先求出△PBQ的面積，即可得出△PAB的面積，借助（2）結(jié)論即可求出時(shí)間t．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥OB于D，
∵B（5，0），
∴OB=5，
∵△ABO的面積是7.5．
∴$\frac{1}{2}$OB•AD=7.5，
∴5AD=15，
∴AD=3，
∴a=3，
∴A（4，3）；

（2）如圖2，
∵動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，
∴OP=2t，
由（1）知，AD=3，A（4，3），
∴OA=5，OD=4，
過點(diǎn)A作AD⊥OB于D，過點(diǎn)P作PE⊥OB，
∴AD∥PE，
∴△ODA∽△OEP，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{PE}{3}=\frac{2t}{5}$，
∴PE=$\frac{6}{5}$t，
∴S_△PAB=S_△OAB-S_△POB=7.5-$\frac{1}{2}$OB•PE=7.5-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{6}{5}$t=7.5-3t（0＜t≤2.5）；
（3）如圖3，∵QB=2AQ，
∴S_△PBQ=2S_△PAQ=2，
∴S_△PAB=3，
由（2）知，S_△PAB=7.5-3t=3，
∴t=1.5．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)和判定，同高的兩三角形的面積比是底的比；解（1）的關(guān)鍵是用三角形OAB的面積建立方程求解，解（2）的關(guān)鍵是用相似三角形得出的比例式建立方程表示出PE，解（3）的關(guān)鍵是求出三角形PAB的面積．