Question

16．如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．
①以AB為直徑作圖，圓心為O，⊙O與BC、AC分別交于點D、E；
②連接ED，作∠EDC的平分線，與AC交于點F．
（2）綜合與運(yùn)用：在你所作的圖中，若AE=7，BC=6，則：
①FD與⊙O的位置關(guān)系是相切，并加以證明．
②線段AC的長為9．

Answer 1

分析 （1）①作AB的中垂線找到AB中點O，再作圓即可得；②根據(jù)角平分線的作圖可得；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AD⊥BC、BD=CD=DE，由∠EDF=∠CDF知DF⊥AC，根據(jù)OD為△ABC中位線可得OD⊥DF，得證；②設(shè)⊙O的半徑為r，得出AC=2r、CF=r-$\frac{7}{2}$、CD=3，證△DFC∽△ADC得$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，據(jù)此求得r的值即可得出答案．

解答 解：（1）①如圖，⊙O即為所求；
②DF即為所求；


（2）①相切，
如圖，連接OD、AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴BD=DE，
∴DE=DC，
∵∠EDF=∠CDF，
∴DF⊥AC，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∴OD⊥DF，即DF為⊙O的切線，
故答案為：相切；
②設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=AC=2r，EC=AC-AE=2r-7，
∵DE=DC，且∠EDF=∠CDF，
∴CF=$\frac{1}{2}$EC=r-$\frac{7}{2}$，
∵BC=6，
∴BD=DE=DC=3，
∵∠DFC=∠ADC=90°，∠C=∠C，
∴△DFC∽△ADC，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，即$\frac{r-\frac{7}{2}}{3}$=$\frac{3}{2r}$，
解得：r=-1（舍）或r=$\frac{9}{2}$，
∴AC=2r=9，
故答案為：9

點評 本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，熟練掌握基本的尺規(guī)作圖和等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．