Question

9．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D為AB邊上一點，以DB為直徑的⊙O與AC相切于點E，與BC相交于點F，F(xiàn)N⊥BE交⊙O于點N．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）若sinA=$\frac{2}{3}$，AB=30，求圓心O到EN的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)OE⊥AC，即可證得OE∥BC，進(jìn)一步得到∠EBC=∠OBE，即可證得結(jié)論；
（2）解直角三角形求得BC=20，通過證得Rt△EBC≌Rt△EBF，得出BF=BC=20，設(shè)OF=h，則OB=20-h，OA=10+h，解直角三角形得到關(guān)于h的方程，解方程即可求得．

解答 （1）證明：如圖連接OE，
∵⊙O與AC相切于點E，
∴OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OE∥BC，
∴∠OEB=∠EBC，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠EBC=∠OBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：設(shè)EN與AB的交點為F，
∵sinA=$\frac{2}{3}$，AB=30，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=20，
∵BE平分∠ABC，OE⊥AC，∠C=90°，
∴EC=EF，
在Rt△EBC和Rt△EBF中
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$
∴Rt△EBC≌Rt△EBF（HL），
∴BF=BC=20，
∴AF=30-20=10，
設(shè)OF=h，則OB=20-h，OA=10+h，
∵OE=OB，
∴OE=20-h，
∵sinA=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{20-h}{10+h}$=$\frac{2}{3}$，
解得h=8，
∴圓心O到EN的距離為8．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及解直角三角形的運用．作出輔助性構(gòu)建等腰三角形設(shè)解題的關(guān)鍵．