Question

9．如圖，已知二次函數(shù)y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象與x軸交于B（-2，0）、C兩點，與y軸交于點A（0，-6），直線AC的函數(shù)解析式為y₂=mx+n
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點坐標(biāo)；
（2）過線段OC上任意一點（不含端點）作y軸的平行線，交AC于點E與二次函數(shù)圖象交于點F，求線段EF的最大值；
（3）在拋物線上是否存在一點P，△ACP是以AC為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（0，-6），B（-2，0）代入y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得到關(guān)于b、c的二元一次方程組，求解即可得到二次函數(shù)的解析式；再利用配方法把一般式化為頂點式，即可求出頂點坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)拋物線的對稱性求出C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)解析式，再設(shè)E（x，x-6），則F（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），用含x的代數(shù)式表示EF，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出EF的最大值；
（3）假設(shè)在拋物線上存在一點P，△ACP是以AC為底邊的等腰三角形．先根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出AC中點Q的坐標(biāo)，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PQ⊥AC，由互相垂直的兩直線斜率之積為-1得到直線PQ的斜率是-1，再求出直線PQ的解析式，將它與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立得到方程組，求出方程組的解即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象過點A（0，-6），B（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x-6；
∵y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x²-4x+4）-2-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴頂點坐標(biāo)為（2，-8）；

（2）∵y₁=$\frac{1}{2}$x²-2x-6的對稱軸為直線x=2，
B（-2，0）與C關(guān)于直線x=2對稱，
∴C（6，0）．
將A（0，-6），C（6，0）代入直線AC的函數(shù)解析式y(tǒng)₂=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{n=-6}\\{6m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數(shù)解析式y(tǒng)₂=x-6．
設(shè)E（x，x-6），則F（x，$\frac{1}{2}$x²-2x-6），
∵0＜x＜6，
∴EF=（x-6）-（$\frac{1}{2}$x²-2x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∴當(dāng)x=3時，EF有最大值$\frac{9}{2}$；

（3）假設(shè)在拋物線上存在一點P，△ACP是以AC為底邊的等腰三角形．
如圖，設(shè)AC中點是Q．
∵A（0，-6），C（6，0），
∴Q（3，-3）．
∵PA=PC，AQ=CQ，
∴PQ⊥AC，
∴直線PQ的斜率是-1，
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+t，
把Q（3，-3）代入，得-3=-3+t，解得t=0，
∴直線PQ的解析式為y=-x．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{13}}\\{y=-1-\sqrt{13}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{13}}\\{y=-1+\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
故所求點P的坐標(biāo)為P₁（1+$\sqrt{13}$，-1-$\sqrt{13}$），P₂（1-$\sqrt{13}$，-1+$\sqrt{13}$）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，等腰三角形的性質(zhì)，互相垂直的兩直線斜率之積為-1，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法等知識，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．