Question

20．如圖，拋物線y=-1.25x²+4.25x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=0代入y=-1.25x²+4.25x+1，求出y的值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，把x=3代入y=-1.25x²+4.25x+1，求出y的值，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）根據(jù)路程=速度×?xí)r間得出OP=1•t=t，那么P（t，0）（0≤t≤3），再求出M、N的坐標(biāo)，利用s=MN=NP-MP即可求出s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由于BC∥MN，所以當(dāng)BC=MN時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，根據(jù)MN=BC列出方程-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=$\frac{5}{2}$，解方程求出t的值，得出t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形；根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，分t=1、t=2兩種情況，計(jì)算MN與MC，比較大小，如果相等，則四邊形BCMN是菱形；如果不相等，則四邊形BCMN不是菱形．

解答 解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴A（0，1）．
當(dāng)x=3時(shí)，y=-$\frac{5}{4}$×3²+$\frac{17}{4}$×3+1=2.5，∴B（3，2.5），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=2.5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1；

（2）∵動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，
∴OP=1•t=t，
∴P（t，0）（0≤t≤3），
∵過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，
∴M（t，$\frac{1}{2}$t+1），N（t，-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1），
∴s=MN=NP-MP=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1-（$\frac{1}{2}$t+1）=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t（0≤t≤3）；

（3）由題意，可知當(dāng)MN=BC時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，
此時(shí)，有-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
解得t₁=1，t₂=2，
所以當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形．
①當(dāng)t=1時(shí)，MP=$\frac{3}{2}$，NP=4，故MN=NP-MP=$\frac{5}{2}$，
又在Rt△MPC中，MC=$\sqrt{M{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，故MN=MC，此時(shí)四邊形BCMN為菱形；
②當(dāng)t=2時(shí)，MP=2，NP=$\frac{9}{2}$，故MN=NP-MP=$\frac{5}{2}$，
又在Rt△MPC中，MC=$\sqrt{M{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，故MN≠M(fèi)C，此時(shí)四邊形BCMN不是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求直線的解析式，一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，路程、速度與時(shí)間的關(guān)系，平行四邊形、菱形的判定，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．