Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，∠ABC的平分線交AC于點D，M、N分別是BD和BC上的動點，則CM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：過點A作AN⊥BC于N交BD于M，根據軸對稱和由垂線段最短確定最短路線問題，AN的長度即為BM+MN的最小值，求得△ANC∽△BDC，根據相似三角形對應邊成比例求解即可．

解答：解：如圖，由垂線段最短，過點A作AN⊥BC于N交BD于M，AN最短，
∵△ABC是等腰三角形，BD是∠ABC的平分線，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C關于BD對稱，
由軸對稱性質，AM=CM，
∴CM+MN=AM+MN=AN，
∵BD⊥AC，AD=DC，
∴DC=3，
∴BD=

52-32

=4，
∵∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，
∴△ANC∽△BDC，
∴

AN

BD

=

AC

BC

，即

AN

4

=

6

5

，解得AN=

24

5

，
∴CM+MN的最小值是

24

5

．
故答案為：

24

5

．

點評：本題考查了軸對稱的性質，垂線段最短，相似三角形的判定與性質，確定出點M、N的位置是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．