Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，C（-3，0），D（-1，0），點B在y軸正半軸上，且tan∠BCO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（1）求直線CB的解析式；
（2）若點E從C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接ED，設△BDE的面積為S，點E的運動時間為t，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）將△BOD沿y軸翻折，D的對應點為A，在（2）的條件下，是否存在點E，使得A、B、E為頂點的三角形與△ABO相似？若存在，請直接寫出E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形BCO中，由tan∠BCO的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠BCO的度數(shù)，根據(jù)C的坐標確定出OC的長，設OB=x，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BC=2x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出B坐標，設直線CB解析式為y=kx+b，把B與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出CB解析式；
（2）分兩種情況，一是E在線段CB上，一是E在CB的延長線上，分別由三角形BCD面積減去三角形CDE面積，以及三角形CDE面積減去三角形CDB面積，表示出S與t的關系式，求出t的范圍即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況考慮：一是E與C重合時，一是E在CB延長線上，∠AEB=30°時，A、B、E為頂點的三角形與△ABO相似，分別求出E的坐標即可．

解答 解：（1）在Rt△BCO中，tan∠BCO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCO=30°，
∵C（-3，0），即OC=3，
設BO=x，則有CB=2x，
根據(jù)勾股定理得：9+x²=4x²，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴BO=$\sqrt{3}$，即B（0，$\sqrt{3}$），
設直線CB解析式為y=kx+b，
把B與C坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則直線CB解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）分兩種情況考慮：
當E在線段CB上時，如圖1所示，連接DE，過E作EF⊥CD，

由題意得：CE=t，EF=$\frac{1}{2}$t，
則△BDE的面積為S=S_△CBD-S_△CED=$\frac{1}{2}$CD•BO-$\frac{1}{2}$CD•EF=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t（0≤t≤2$\sqrt{3}$）；
當E在線段CB延長線上時，如圖2所示，

由題意得：CE=t，EF=$\frac{1}{2}$t，
則△BDE的面積為S=S_△CDE-S_△CBD=$\frac{1}{2}$CD•EF-$\frac{1}{2}$CD•OB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$t-$\sqrt{3}$（t＞2$\sqrt{3}$）；
（3）如圖所示：

由折疊的性質(zhì)得：△AOB≌△DOB，
∴OA=OD=1，AB=DB=2，∠ABO=∠OBD=30°，
∵∠OBC=60°，∠ABO=30°，
∴∠ABC=90°，即AB⊥CE，
當E與C重合時，△ABO∽△EAB，此時E（-3，0）；
當E在線段CB延長線上時，作EF⊥x軸，要使△ABO∽△AEB，需要∠AEB=∠ABO=30°，
在Rt△ABE中，AB=2，則有AE=2AB=4，BE=2$\sqrt{3}$，
在△AEB和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠AFE=90°}\\{∠EBA=∠EAF=60°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEF（AAS），
∴EF=BE=2$\sqrt{3}$，AF=AB=2，
∴OF=OA+AF=1+2=3，
此時E坐標為（3，2$\sqrt{3}$），
綜上，滿足題意E的坐標為（-3，0）或（3，2$\sqrt{3}$）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及相似三角形的判定，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關鍵．