Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿C-A-B向點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)t=$\frac{30}{11}$秒時(shí)，PQ∥AB．
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為$\frac{5}{2}\sqrt{5}+\frac{\sqrt{221}}{26}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)CP：BC=CQ：AC時(shí)，PQ∥AB，則有（12-2t）：12=t：5，即可求出t的值；
（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D（10，0），DB=10，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，BC的中點(diǎn)為M（6，0），AD的中點(diǎn)為N；當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到K點(diǎn)，AK=1，CK的中點(diǎn)為F，此時(shí)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，則線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為線段MN、NF的長(zhǎng)度和，利用點(diǎn)M、N的坐標(biāo)求出MN的長(zhǎng)，利用△AKG∽△ABC求出AG、KG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)K、F的坐標(biāo)，即可求出NF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）由題意知BP=2t，CP=12-2t，CQ=t，
當(dāng)CP：BC=CQ：AC時(shí)，PQ∥AB，則有（12-2t）：12=t：5，
解得：t=$\frac{30}{11}$；
（2）如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，5），
由題意可知，當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D（10，0），DB=10，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，BC的中點(diǎn)為M（6，0），AD的中點(diǎn)為N；當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到K點(diǎn)，AK=1，CK的中點(diǎn)為F，此時(shí)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，則線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為線段MN、NF的長(zhǎng)度和．
過K作KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，
∵D（10，0），A（12，5），N為AD的中點(diǎn)，
∴N（11，$\frac{5}{2}$），
又∵M(jìn)（6，0），
∴MN=$\sqrt{（6-11）^{2}+（0-\frac{5}{2}）^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{5}$；
∵AC=5，BC=12，
∴AB=13，
∵KG⊥AC，∠ACB=90°，
∴KG∥BC，
∴△AKG∽△ABC，
∴AK：AB=AG：AC=KG：BC，即1：13=AG：5=KG：12，
∴AG=$\frac{5}{13}$，KG=$\frac{12}{13}$，
∴CG=AC-AG=$\frac{60}{13}$，BH=BC-KG=$\frac{144}{13}$，
∴K$（\frac{144}{13}，\frac{60}{13}）$，
又∵C（12，0），F(xiàn)為KC的中點(diǎn)，
∴F$（\frac{150}{13}，\frac{30}{13}）$，
又∵N（11，$\frac{5}{2}$），
∴NF=$\sqrt{（11-\frac{150}{13}）^{2}+（\frac{5}{2}-\frac{30}{13}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{221}}{26}$，
∴線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為MN+NF=$\frac{5}{2}\sqrt{5}+\frac{\sqrt{221}}{26}$．
故答案為：（1）$\frac{30}{11}$； （2）$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{221}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的軌跡問題，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)，正確理解題意，準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．