Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1，點(diǎn)P為直線y=-$\frac{3}{4}$x+3上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長PQ的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接AP，PQ，當(dāng)AP最小時，PQ最小，當(dāng)AP⊥直線y=-$\frac{3}{4}$x+3時，PQ最小，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，作AP⊥直線y=-$\frac{3}{4}$x+3，垂足為P，作⊙A的切線PQ，切點(diǎn)為Q，此時切線長PQ最小∵A的坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)直線與x軸，y軸分別交于B，C，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，AC=5，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴AC=BC，
在△APC與△BOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠OBC=90°}\\{∠ACB=∠BCO}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△OBC，
∴AP=OB=3，
∴PQ=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．