Question

16．如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，連接OC交⊙O于E，AE交BC于點(diǎn)F，過(guò)O作OD∥AF交BC于D，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=2，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠DOE=∠DOB，由SAS證明△OED≌△OBD，得出∠OED=∠OBD=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$OB，由切線長(zhǎng)定理得出BD=ED=a，證明△CED∽△CBO，得出$\frac{ED}{DC}=\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，設(shè)ED=a，則DC=$\sqrt{5}$a，得出BC=BD+DC=ED+DC，得出方程a+$\sqrt{5}$a=2，解方程求出a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，由三角形中位線定理得出BF=2a=$\sqrt{5}$-1，即可求出CF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵OD∥AF，
∴∠DOE=∠OEA，∠DOB=∠OAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠DOE=∠DOB，
在△OED和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OB}&{\;}\\{∠DOE=∠DOB}&{\;}\\{OD=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OBD（SAS），
∴∠OED=∠OBD=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)ED=a，
∵等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，OA=OB，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$OB，
∵∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線，
∴BD=ED=a，
∵∠ECD=∠OCB，∠CED=∠B=90°，
∴△CED∽△CBO，
∴$\frac{ED}{DC}=\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴DC=$\sqrt{5}$a，
∵BC=BD+DC=ED+DC，
∴a+$\sqrt{5}$a=2，
解得：a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵OD∥AF，OA=OB，
∴DF=BD，
∴OD是△ABF的中位線，
∴BF=2a=$\sqrt{5}$-1，
∴CF=2-（$\sqrt{5}-1$）=3-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．