Question

19．已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²+3（m是常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；
（2）把該二次函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？
（3）直線y=4與二次函數(shù)的圖象交于M、N兩點(diǎn)，求M、N的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）求出根的判別式，即可得出答案；
（2）先化成頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和平移的性質(zhì)得出即可；
（3）把y=4代入拋物線解析式，求出對(duì)應(yīng)自變量x的值，即可求出MN的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）證明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12＜0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
即不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；    
（2）y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函數(shù)y=（x-m）²+3的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y=（x-m）²的圖象，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以把函數(shù)y=x²-2mx+m²+3的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．                                
（3）（x-m）²+3=4，x₁=m+1，x₂=m-1，
MN=x₁-x₂=（m+1）-（m-1）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根的判別式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，題目比較好，有一定的難度．