Question

18．△ABC中，∠C=60°，AD、BE分別是∠BAC、∠ABC的平分線，AD與BE相交于O點(diǎn)．
（1）如圖1，若∠ABC=∠BAC=60°，則∠AOB=120°，AE+BD=AB；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，線段AE、BD與AB之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，若∠ABC與∠BAC是任意角度，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接求出即可；
（2）先用角平分線的性質(zhì)定理得出OH=OF，再用HL判斷出Rt△AOH≌Rt△AOF，利用三角形的外角得出∠OEF=∠ODG，進(jìn)而得出△OEF≌△ODG，得出EF=DG，即可；
（3）先用角平分線的性質(zhì)定理得出OH=OF，再用HL判斷出Rt△AOH≌Rt△AOF，利用三角形的外角和三角形的內(nèi)角和得出∠OEF=∠ODG，進(jìn)而得出△OEF≌△ODG，得出EF=DG，即可；

解答 解：（1）∠ABC=∠BAC=60°，∠C=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AB=BC，
∵AD、BE分別是∠BAC、∠ABC的平分線，AD與BE相交于O點(diǎn)．
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠AOB=180°-∠ABE-∠BAD=120°，
∵AD，BE是等邊三角形ABC的角平分線，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE+BD=AB，
故答案為：120°，=；
（2）如圖2，過點(diǎn)O作OH⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴OH=OF，
在Rt△AOH和Rt△AOF中$\left\{\begin{array}{l}{OH=OF}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AF=AH，
同理可得，BH=BG，OH=OG，
∴OF=OG，
∵AD、BE分別是∠BAC、∠ABC的平分線，AD與BE相交于O點(diǎn)．
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵∠OEF=∠ABE+∠BAE=75°，∠ODG=∠CAD+∠ACB=75°，
∴∠OEF=∠ODG，
在△OEF和△ODG中$\left\{\begin{array}{l}{∠OEF=∠ODG}\\{∠OFE=∠OGD}\\{OF=OG}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△ODG．
∴EF=DG，
∴AE+BD=AF-EF+BG+DG=AH-DG+BH+DG=AH+BH=AB；
（3）如圖3，過點(diǎn)O作OH⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC，
同（2）的方法得出OH=OF=OG，AF=AH，BH=BG，
∵AD、BE分別是∠BAC、∠ABC的平分線，AD與BE相交于O點(diǎn)．
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∴∠BAC=120°-∠ABC
∴∠OEF=∠ABE+∠BAE=$\frac{1}{2}$∠ABC+120°-∠ABC=120°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠ODG=∠CAD+∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAC+60°=$\frac{1}{2}$（120°-∠ABC）+60°=120°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OEF=∠ODG，
在△OEF和△ODG中$\left\{\begin{array}{l}{∠OEF=∠ODG}\\{∠OFE=∠OGD}\\{OF=OG}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△ODG．
∴EF=DG，
∴AE+BD=AF-EF+BG+DG=AH-DG+BH+DG=AH+BH=AB；

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的外角和三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵是∠OEF=∠ODG．