Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，折疊后再展開為矩形ABCD，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，則$\frac{MN}{BM}$的值為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長，繼而求得答案．

解答 解：過點(diǎn)N作NG⊥BC于G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC，
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN，
由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
∵AM=CM，
∴四邊形AMCN是菱形，
∵△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，
∴DN：CM=1：4，
設(shè)DN=x，
則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x，
∴BM=x，GM=3x，
在Rt△CGN中，NG=$\sqrt{C{N}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，
在Rt△MNG中，MN=$\sqrt{G{M}^{2}+N{G}^{2}}$=2$\sqrt{6}$x，
∴$\frac{MN}{BM}$=2$\sqrt{6}$，
故答案為：$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．