Question

10．數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：已知點(diǎn)A，B，C是不在同一直線上三點(diǎn)，求作一條過(guò)點(diǎn)C的直線l，使得點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．
小明的作法如下：
①連接線段AB；
②分別以A，B為圓心，以大于$\frac{1}{2}$AB為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)；
③做直線MN，交線段AB于點(diǎn)O；
④做直線CO，則CO就是所求作的直線l老師肯定了小明的作法，根據(jù)上面的作法回答下列問(wèn)題：
（1）小明利用尺規(guī)作圖作出的直線MN是線段AB的垂直平分線；點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)；
（2）要證明點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線l的距離相等，需要在圖中畫(huà)出必要的線段，請(qǐng)?jiān)趫D中作出輔助線，說(shuō)明作法，并說(shuō)明線段AE的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線l的距離，線段BF的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線l的距離；
（3）證明點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本作圖可判斷直線MN是線段AB的垂直平分線，則點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)；
（2）利用基本作圖（過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線），作點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E，作BF⊥l于點(diǎn)F；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可判斷線段AE 的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線l的距離，線段BF 的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線l的距離； 
（3）證明△AEO≌△BFO得到AE=BF．

解答 解：（1）直線MN是線段AB的垂直平分線；點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F；
線段AE 的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線l的距離，
線段BF 的長(zhǎng)是點(diǎn)B到直線l的距離； 

（3）∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEO=∠BFO=90°
在△AOE和△BOF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO}\\{∠AOE=∠BOF}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△BFO
∴AE=BF，即點(diǎn)A，B到直線l的距離相等．
故答案為垂直平分線，中點(diǎn)，AE，BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了點(diǎn)到直線的距離．