Question

15．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，則sin∠B′EC的值為$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 先過B'作BC的垂線，交BC于F，交AD于G，則∠AGB'=∠B'FE=90°，設(shè)B'F=x，則B'G=4-x，根據(jù)△AGB'∽△B'FE，即可得到EF=3-$\frac{3}{4}$x，在Rt△EFB'中，EF²+B'F²=B'E²，列方程即可得到x=$\frac{72}{25}$，進(jìn)而得到sin∠B′EC的值．

解答 解：如圖所示，過B'作BC的垂線，交BC于F，交AD于G，則∠AGB'=∠B'FE=90°，
由折疊可得，∠AB'E=∠B=90°，
∴∠GAB'=∠FB'E，
∴△AGB'∽△B'FE，
∴$\frac{EF}{B'G}$=$\frac{EB'}{B'A}$，
由折疊可得AB'=AB=4，
∵BC=6，點E為BC的中點，
∴B'E=BE=3，
設(shè)B'F=x，則B'G=4-x，
∴$\frac{EF}{4-x}$=$\frac{3}{4}$，即EF=$\frac{3}{4}$（4-x）=3-$\frac{3}{4}$x，
∵Rt△EFB'中，EF²+B'F²=B'E²，
∴（3-$\frac{3}{4}$x）²+x²=3²，
解得x=$\frac{72}{25}$，
∴Rt△B'EF中，sin∠B′EC=$\frac{B'F}{B'E}$=$\frac{\frac{72}{25}}{3}$=$\frac{24}{25}$．
故答案為：$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查了折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是：設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．