Question

7．如圖，將邊長(zhǎng)為10的正三角形OAB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，C是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），作CD⊥OB于點(diǎn)D，若點(diǎn)C，D都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上（x＜0），則k的值為（　�。�

• A． -9
• B． -9$\sqrt{3}$
• C． -18$\sqrt{3}$
• D． -25$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)OE=a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)D、C的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程得出a的值，進(jìn)而即可求出k的值．

解答 解：過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．
設(shè)OE=a，則OD=2a，DE=$\sqrt{3}$a，
∴BD=OB-OD=10-2a，BC=2BD=20-4a，AC=AB-BC=4a-10，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2a-5，CF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$（2a-5），OF=OA-AF=15-2a，
∴點(diǎn)D（-a，$\sqrt{3}$a），點(diǎn)C（2a-15，$\sqrt{3}$（2a-5））．
∵點(diǎn)C、D都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上（x＜0），
∴-a•$\sqrt{3}$a=（2a-15）×$\sqrt{3}$（2a-5），
解得：a=3或a=5．
當(dāng)a=5時(shí)，DO=OB，AC=AB，點(diǎn)C、D與點(diǎn)B重合，不符合題意，
∴a=5舍去，即a=3．
∴點(diǎn)D（-3，3$\sqrt{3}$），
∴k=-3×3$\sqrt{3}$=-9$\sqrt{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等邊三角形的性質(zhì)，設(shè)出OE，用其表示出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．