Question

6．如圖，已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點A（m，-2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；
（3）點P在y軸上，且滿足以點A、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，試寫出點P所有可能的坐標；
（4）若雙曲線上點C（2，n）沿OA方向平移$\sqrt{5}$個單位長度得到點B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，把A坐標代入y=2x求出m的值，確定出A坐標，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）根據(jù)題意，利用對稱性求出D的坐標，由A與D坐標，找出一次函數(shù)位于反比例函數(shù)圖象上方時x的范圍即可；
（3）根據(jù)A坐標求出OA的長，分三種情況：①以O(shè)為頂點，求出P₁與P₂的坐標；②以A為頂點，求出P₃坐標；③以O(shè)A為底邊，求出P₄坐標即可；
（4）四邊形OABC為菱形，理由為：求出OA的長，由平移規(guī)律求出BC的長，以及BC與OA平行，進而利用一組對邊平行且相等的三角形為平行四邊形得到APCB為平行四邊形，再求出OC與OA長相等，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$（k＞0），
∵A（m，-2）在y=2x上，
∴-2=2m，
∴m=-1，
∴A（-1，-2），
又點A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴-2=$\frac{k}{-1}$，
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$；
（2）由A的坐標為（-1，-2），得到D（1，2），
由圖象得：正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍為-1＜x＜0或x＞1；
（3）OA=$\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，分三種情形：
①以O(shè)為頂點，P₁（O，-$\sqrt{5}$），P₂（O，$\sqrt{5}$）；
②以A為頂點，P₃（O，-4）；
③以O(shè)A為底邊，設(shè)P₄（O，-b），OA中點為D，連接DP₄、AP₄，
∵S_△OAP4=$\frac{1}{2}$OP₄|x_A|=$\frac{1}{2}$OA•DP₄，
∴DP₄=$\frac{\sqrt{5}}$，
在Rt△ODP₄中，由勾股定理得：OD²+DP₄²=OP₄²，
∴b=$\frac{5}{4}$，
∴P₄（O，-$\frac{5}{4}$）；
（4）四邊形OABC是菱形，理由為：
證明：∵A（-1，-2），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由題意知：CB∥OA且CB=$\sqrt{5}$，
∴CB=OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∵C（2，n）在y=$\frac{2}{x}$上，
∴n=1，
∴C（2，1），
∴OC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OC=OA，
∴四邊形OABC是菱形．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．