Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，3），頂點在直線y=-x+1上且在第四象限，頂點與原點的距離為5．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，頂點為C，求點A、B、C的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）設(shè)頂點坐標為（m，-m+1），根據(jù)兩點間的距離公式得m²+（-m+1）²=5，解得m₁=2，m₂=-1，由于頂點在第四象限，所以m=2，即頂點坐標為（2，-1），再設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，把（0，3）代入求出a即可得到拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）把y=0代入y=x²-4x+3得x²-4x+3=0，再解方程即可確定A、B兩點坐標分別為（1，0），（3，0），由（1）可得到頂點C的坐標為（2，-1）．

解答：解：（1）設(shè)頂點坐標為（m，-m+1），
∵頂點與原點的距離為5，
∴m²+（-m+1）²=5，解得m₁=2，m₂=-1，
∵頂點在第四象限，
∴m=2，即頂點坐標為（2，-1），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
把（0，3）代入得4a-1=3，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-2）²-1=y=x²-4x+3；
（2）把y=0代入y=x²-4x+3得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
∴該二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點坐標分別為（1，0），（3，0），∵
頂點C的坐標為（2，-1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而減小；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時，y取得最小值

4ac-b2

4a

，對稱即頂點是拋物線的最低點；當a＜0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最高點．