Question

14．已知△ABC為等邊三角形，在圖（1）中，點(diǎn)M是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN，直線BN與AM相交于點(diǎn)Q．
（1）請猜一猜：圖（1）中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N兩點(diǎn)分別在線段BC、CA的延長線上，其它條件不變，如圖（2）所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請加以證明；如不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC為等邊三角形，易得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，又由BM=CN，即可證得△ABM≌△BCN，然后由全等三角形的對應(yīng)角相等，求得答案；
（2）由△ABC為等邊三角形，易得AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，又由BM=CN，即可證得△ABM≌△BCN，然后由全等三角形的對應(yīng)角相等，求得答案．

解答 解：（1）∠BQM=60°．
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB=180°-∠ABC=120°，
∴∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB）=60°；

（2）成立．
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠ACB}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB=180°-∠ABC=120°，
∴∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB）=60°．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用SAS證得△ABM≌△BCN．