Question

19．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=6，BC=8，E為AB的中點(diǎn)，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，折痕為MN，則折痕MN的長(zhǎng)度為$\frac{3\sqrt{73}}{4}$．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先運(yùn)用勾股定理、翻折變換的性質(zhì)等幾何知識(shí)求出AM、BN、CN的長(zhǎng)度，然后借助三角形的面積公式列出關(guān)于線段MN的方程，求出MN即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，過(guò)M作MF⊥BC，垂足為F；
∵四邊形ABCD為矩形，且點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴∠B=∠C=∠A=90°，DC=AB=6，
AD=BC=8，AE=3，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{73}$；
再由翻折的性質(zhì)可知MN垂直平分DE，
故∠MGD=90°，∠NMD+∠GDM=90°
又易知MF⊥AD，即∠FMN+∠NMD=90°
∴∠GDM=∠FMN，
∴Rt△EAD∽R(shí)t△NFM
則有$\frac{MN}{DE}=\frac{MF}{DA}$
求得MN=$\frac{3\sqrt{73}}{4}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{73}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答．