Question

10．已知拋物線y=x²+3x+c過兩點（m，0）、（n，0），且m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8，拋物線與雙曲線$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的交點為（1，d）．
（1）求拋物線與雙曲線的解析式；
（2）已知點P₁，P₂，…，P₂₀₁₂都在雙曲線$y=\frac{k}{x}$（x＞0）上，它們的橫坐標分別為a，2a，…，2012a，O為坐標原點，記${S_1}={S_{△{P_1}{P_2}O}}，{S_2}={S_{△{P_1}{P_3}O}}，…$，點Q在雙曲線$y=\frac{k}{x}$（x＜0）上，過Q作QM⊥y軸于M，記S=S_△QMO．求${S_1}+{S_2}+…+{S_{2011}}+\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+…+\frac{S}{2012}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列出方程組，求出c的值，確定出拋物線解析式；根據(jù)題意求出k的值，即可確定出雙曲線解析式；
（2）根據(jù)點P₁，P₂，…，P₂₀₁₂都在雙曲線$y=\frac{k}{x}$（x＞0）上，它們的橫坐標分別為a，2a，…，2012a，分別求出縱坐標，如圖，過P₁、P_n+1分別作x軸、y軸的平行線，根據(jù)題意表示出S_n，再由Q在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，得到S=S_△QMO=1，即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}m（{m^2}+3m+c）-2（m+n）-c=8\\{m^2}+3m+c=0\\ m+n=-3\end{array}\right.$，
解得：c=-2，
∴y=x²+3x-2；
由$\left\{\begin{array}{l}{d=1+3-2}\\{d=\frac{k}{1}}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵點P₁，P_n+1（n=1，2，…，2011）都在雙曲線$y=\frac{k}{x}$（x＞0）上，它們的橫坐標分別為a，（n+1）a，
∴點P₁，P_n+1（n=1，2，…，2011）的縱坐標為$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{（n+1）a}$，
如圖，過P₁、P_n+1分別作x軸、y軸的平行線，
可得S_n=S_△P1Pn+1O=（n+1）a•$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}$a•$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}$（n+1）a•$\frac{2}{（n+1）a}$-$\frac{1}{2}$[（n+1）a-a][$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{（n+1）a}$]=n+$\frac{n}{n+1}$，
由Q在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，得到S=S_△QMO=1，
則S₁+S₂+…+S₂₀₁₁+$\frac{S}{2}$+$\frac{S}{3}$+…+$\frac{S}{2012}$=（1+$\frac{1}{2}$）+（2+$\frac{2}{3}$）+…+（2011+$\frac{2011}{2012}$）=1+2+…+2011+1×2011=2025077．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．