Question

13．如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過B作BG⊥AE于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使∠CFB=45°
（1）求證：∠BAG=∠CBF；
（2）求證：AG=FG；
（3）若GF=2BG，CF=$\sqrt{2}$，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等即可證明；
（2）過C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，根據(jù)已知條件可證明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因?yàn)锽H=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，進(jìn)而證明AG=FG；
（3）在Rt△ABG中，分別求出BG、AG即可解決問題；

解答 （1）證明：過C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)，
∵∠CFB=45°
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE，


（2）證明：∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠BHC}\\{∠BAG=∠HBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG；

（3）解：在Rt△CHF中，∠CFB=45°，
∵CF=$\sqrt{2}$，
∴CH=FH=1，
由（2）可知BG=CH，AG=FG，
∴BG=1，∵GF=2BG，
∴FG=AG=2，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題要求能力很高．