Question

1．如圖，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，把線段AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接CF，AF．
（1）求∠DCF的度數(shù)；
（2）若CE=3，BE=2，求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）在AB上取一點(diǎn)G，使AG=CE，連接EG，由正方形的性質(zhì)就可以得出△AGE≌△ECF，就可以得出∠AGE=∠ECF，根據(jù)BG=BF就可以得出∠BGE的值，就可以求出∠DCF的值；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可求AE的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求EF的長，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．

解答 解：在AB上取一點(diǎn)G，使AG=CE，連接EG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∴AB-AG=BC-CE，∠EAB+∠AEB=90°，
∴BG=BE．
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵∠AEF=90°
∴∠AEB+∠CEF=90°．
∴∠GAE=∠CEF．
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=EC}\\{∠GAE=∠CEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（SAS），
∴∠AGE=∠ECF，
∴∠AGE=135°，
∴∠DCF=135°-90°=45°．
（2）AB=BC=CE+BE=5，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
則EF=$\sqrt{29}$，
則△AEF的面積是$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$÷2=14.5．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．