Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠．D為BC邊上一點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，與AB相切于點(diǎn)E．若CD=2，BD=1.2，求點(diǎn)A到⊙O的切線長．

Answer 1

分析 連接OE，在Rt△BOE中可求得BE，由條件可知AC是⊙O的切線，可知AE=AC，設(shè)AC=AE=x，在Rt△ABC中由勾股定理可列方程，可求得AC的長．

解答 解：
連接OE，
∵AB是⊙O的切線，
∴OE⊥AB，
∵CD=2，
∴OD=OE=1，
∴BO=BD+OD=1.2+1=2.2，
在Rt△BOE中，由勾股定理可得BE=$\sqrt{B{O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2．{2}^{2}-1}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
∵∠C=90°，且CD為直徑，
∴AC是⊙O的切線，
∴AE=AC，
設(shè)AE=AC=x，則AB=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$+x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB²=BC²+AC²，
∴（x+$\frac{4\sqrt{6}}{5}$）²=3.2²+x²，解得x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即點(diǎn)A到⊙O的切線長為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)和判定，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵．