Question

15．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC的延長線上，連接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于點(diǎn)G．
（1）求證：DQ=PQ；
（2）求AP•DQ的最大值；
（3）若P為AB的中點(diǎn)，求PG的長．

Answer 1

分析 （1）欲推知DQ=PQ，只需得到∠QPD=∠QDP，結(jié)合矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)就可得到該結(jié)論；
（2）由相似三角形△QDE∽△DPA的對(duì)應(yīng)邊成比例推知：AP•DQ=DP•DE=$\frac{1}{2}$DP²．結(jié)合Rt△DAP中，利用勾股定理得到：AP•DQ=$\frac{1}{2}$（36+AP²），由AP的取值范圍；
（3）設(shè)CG=x，則BG=6-x，由（1）得，DQ∥AB，所以由平行線分線段成比例得到$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CG}{BG}$，即$\frac{6}{2}$=$\frac{x}{6-x}$，由此求得x的值，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得到PG的長度．

解答 （1）證明：∵四邊形ABDF是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠APD=∠QDP．
∵∠APD=∠QPD，
∴∠QPD=∠QDP，
∴DQ=PQ．

（2）過點(diǎn)Q作QE⊥DP，垂足為E，則DE=$\frac{1}{2}$DP．
∵∠DEQ=∠PAD=90°，∠QDP=∠APD，
∴△QDE∽△DPA，
∴$\frac{DQ}{DP}$=$\frac{DE}{AP}$，
∴AP•DQ=DP•DE=$\frac{1}{2}$DP²．
在Rt△DAP中，有DP²=DA²+AP²=36+AP²，
∴AP•DQ=$\frac{1}{2}$（36+AP²），
∵點(diǎn)P在AB上，
∴AP≤4，
∴AP•DQ≤26，即AP•DQ的最大值為26．

（3）∵P為AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=2，
由（2）得，DQ=$\frac{1}{4}$（36+2²）=10．
∴CQ=DQ-DC=6．設(shè)CG=x，則BG=6-x，
由（1）得，DQ∥AB，
∴$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CG}{BG}$，
即$\frac{6}{2}$=$\frac{x}{6-x}$，
解得x=$\frac{9}{2}$，
∴BG=6-$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴PG=$\sqrt{P{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似綜合題，需要熟練掌握矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．