Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)沿邊CB向點B以每秒a個單位長度的速度運動，過點P作PD⊥BC，交AB于點D，連接PQ．當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．
（1）當a=2時，解答下列問題：
①Q(mào)B=8-2t，PD=$\frac{4}{3}$t．（用含t的代數(shù)式分別表示）
②通過計算說明，不存在t的值使得四邊形PDBQ為菱形．
（2）當a為某個數(shù)值時，四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求a的值及四邊形PDBQ為菱形時t的值．
（3）當t=2時，在整個運動過程中，恰好存在線段PQ的中點M到△ABC三邊距離相等，直接寫出此刻a的值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{CB}{AC}$=$\frac{4}{3}$，則可求得QB與PD的值；
②易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形；
（2）設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；
（3）由題意AP=2，PC=4，CQ=2a，又QM=PM，點M到△ABC是三邊距離相等，推出CM是∠PCQ的平分線，推出PC=CQ，可得2a=4，推出a=2，經(jīng)檢驗，此時點M是△ABC的內(nèi)心，由此即可解決問題；

解答 解：（1）①根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8-2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴PD=$\frac{4}{3}$t．
故答案為：（1）8-2t，$\frac{4}{3}$t．

②不存在
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即 $\frac{AD}{10}$=$\frac{t}{6}$，
∴AD=$\frac{5}{3}$t，
∴BD=AB-AD=10-$\frac{5}{3}$t，
∵BQ∥DP，
∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，
即8-2t=$\frac{4}{3}$，解得：t=$\frac{12}{5}$．
當t=$\frac{12}{5}$時，PD=$\frac{4}{3}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$，BD=10-$\frac{5}{3}$×$\frac{12}{5}$=6，
∴DP≠BD，
∴?PDBQ不能為菱形．

（2）設點Q的速度為每秒v個單位長度，
則BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t，
要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，
當PD=BD時，即 $\frac{4}{3}$t=10-$\frac{5}{3}$t，解得：t=$\frac{10}{3}$，
當PD=BQ，t=$\frac{10}{3}$時，即 $\frac{4}{3}$×$\frac{10}{3}$=8-$\frac{10}{3}$v，解得：v=$\frac{16}{15}$；
當點Q的速度為每秒 $\frac{16}{15}$個單位長度時，經(jīng)過 $\frac{10}{3}$秒，四邊形PDBQ是菱形．

（3）由題意AP=2，PC=4，CQ=2a，
∵QM=PM，點M到△ABC是三邊距離相等，
∴CM是∠PCQ的平分線，
∴PC=CQ，
∴2a=4，
∴a=2，經(jīng)檢驗，此時點M是△ABC的內(nèi)心，
∴滿足條件的a的值為2．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)的應用．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．