Question

如圖，△EDF中，∠EDF=90°，點B是EF的中點，點M在邊ED上，過點B作MB的垂線交邊DF于N點，求證：BM²+BN²=ME²+NF²．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：證明題

分析：延長NB到C，使BC=BN，連接CE、CM，根據(jù)SAS定理得出△BCE≌△BNF，故CE=NF，∠BEC=∠F．再由∠EDF=90°可知∠DEF+∠F=90°，故可得出∠CEM=90°，根據(jù)勾股定理可知ME²+CE²=CM²，即ME²+NF²=CM²．再由BM⊥BN得出BM²+BC²=CM²，即BM²+BN²=CM²進而可得出結論．

解答： 證明：延長NB到C，使BC=BN，連接CE、CM．
∵B是EF的中點，
∴BE=BF．
在△BCE與△BNF中，
∵

BC=BF ∠EBC=∠FBN BE=BF

，
∴△BCE≌△BNF（SAS），
∴CE=NF，∠BEC=∠F．
∵∠EDF=90°，
∴∠DEF+∠F=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°即∠CEM=90°，
根據(jù)勾股定理
∴ME²+CE²=CM²，即ME²+NF²=CM²．
∵BM⊥BN，
∴BM²+BC²=CM²，即BM²+BN²=CM²
∴BM²+BN²=ME²+NF²．

點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．