Question

19．先化簡(jiǎn)，再求值：$（\frac{a-1}{{{a^2}-4a+4}}-\frac{a+2}{{{a^2}-2a}}）÷（\frac{4}{a}-1）$，其中a是一元二次方程x²-4x-3=0的根．

Answer 1

分析 先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出a的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：原式=[$\frac{a-1}{（a-2）^{2}}$-$\frac{a+2}{a（a-2）}$]÷$\frac{4-a}{a}$
=$\frac{a（a-1）-（a+2）（a-2）}{a（a-2）^{2}}$÷$\frac{4-a}{a}$
=$\frac{4-a}{a{（a-2）}^{2}}$•$\frac{a}{4-a}$
=$\frac{1}{{（a-2）}^{2}}$，
∵a是一元二次方程x²-4x-3=0的根，
∴a²-4a-3=0，解得a=2±$\sqrt{7}$，
當(dāng)a=2+$\sqrt{7}$時(shí)，原式=$\frac{1}{{（2+\sqrt{7}-2）}^{2}}$=$\frac{1}{7}$；
當(dāng)a=2-$\sqrt{7}$時(shí)，原式=$\frac{1}{{（2-\sqrt{7}-2）}^{2}}$=$\frac{1}{7}$．
故分式的值為$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．