Question

16．問題探究：
（1）如圖1，點A、B、C是⊙O上三點，∠ACB=35°，那么∠AOB=70°．
（2）如圖2，BD是邊長為4的正方形ABCD的對角線，在正方形內(nèi)部（不含邊界）找一點O，使得∠AOB=2∠ADB，在圖中畫出滿足條件的點O所形成的圖形，并求出△AOB面積的最大值；
問題解決：
（3）如圖3，將百姓家園小區(qū)平面圖繪制在平面直角坐標系中，點A、B、C分別是家園小區(qū)門房及兩個停車場，其中OA=100m，AB=200m，OC=300m，為安全期間，在一點P安裝監(jiān)控使△APB面積最大，且∠APB=2∠ACB，是否存在滿足條件的點P？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理即可求出∠AOB的度數(shù)；
（2）由于BD是正方形ABCD的對角線，則∠AOB=2∠ADB=90°，因為90°圓周角所對弦為直徑，點O在以AB為直徑的半圓（不含A、B端點）圖形上；過點O作OH⊥AB于點H，則OH≤$\frac{1}{2}$AB，從而可求出△AOB的最大值．
（3）作△ABC的外接圓⊙K，連接AC、BC、AK、BK，當△APB的面積最大，且∠APB=2∠ACB時，由（2）可知：點P與點K重合，然后根據(jù)勾股定理即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）∵點A、B、C是⊙O上三點，
∴∠AOB=2∠ACB=70°，
故答案為：70°；

（2）滿足∠AOB=2∠ADB的點O在以AB為直徑的半圓（不含A、B端點）圖形上；
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=45°，則∠AOB=2∠ADB=90°，
∵90°圓周角所對弦為直徑，
∴點O在以AB為直徑的半圓（不含A、B端點）圖形上；
過點O作OH⊥AB于點H，則OH≤$\frac{1}{2}$AB，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OH≤$\frac{1}{4}$AB²，
∵邊長為4的正方形ABCD，
∴AB=4，
∴S_△AOB≤4，即S_△AOB最大值為4；

（3）存在滿足條件的點P；
作△ABC的外接圓⊙K，連接AC、BC、AK、BK，
當△APB的面積最大，且∠APB=2∠ACB時，點P與點K重合，
此時，點P為符合條件的點，
連接PC，
∵OB=OC=300，
∴∠OBC=45°，
∴∠CPA=2∠OBC=90°，
在Rt△AOC中，
由勾股定理得：AC²=OC²+OA²，
在Rt△PAC中，
由勾股定理得：AC²=AP²+PC²=2AP²，
∴2AP²=OC²+OA²=300²+100²=100000，
∴AP=100$\sqrt{5}$，
∴點P在直線x=200上，
設(shè)直線x=200交x軸于點H，則AH=BH，
∵OB=OC=300，OA=100，
∴AB=200，
∴AH=100，
在Rt△PAH中，
由勾股定理得：PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=200，
∴P（200，200），
∴點P關(guān)于x軸的對稱點P'（200，-200）也符合題意；
∴存在符合條件的點P，坐標為（200，200）或（200，-200）．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，勾股定理，三角形面積，不等式的性質(zhì)等知識，需要學(xué)生靈活運用知識，綜合程度較高；