Question

5．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在邊AB上．若將△DAP沿DP折疊，使點(diǎn)A落在矩形ABCD的對(duì)角線上，則AP的長(zhǎng)為$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 分兩種情況探討：點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上，點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通過(guò)解方程可得答案．

解答 解：①點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上，如圖1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，
設(shè)AP=x，則BP=4-x，
∵BP²=BA′²+PA′²，
∴（4-x）²=x²+2²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴AP=$\frac{3}{2}$；
②點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，如圖2，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知DP⊥AC，
∴△DAP∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴AP=$\frac{AD•BC}{AB}$=$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊問(wèn)題、勾股定理，矩形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)；解題中，找準(zhǔn)相等的量是正確解答題目的關(guān)鍵．