Question

1．如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O上一點，過D點作直線EF，BH⊥EF交⊙O于點C，垂足為H，且BD平分∠ABH．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）如果AB=12，BC=8，求圓心O到BC的距離．

Answer 1

分析 （1）要證DH是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥EF即可．
（2）過點O作OG⊥BC于點G，根據(jù)垂徑定理求得BG，然后根據(jù)勾股定理即可求得O到BC的距離．

解答 （1）證明：連接半徑OD．
∵BD平分∠ABH，
∴∠ABD=∠HBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠HBD=∠ODB，
∴OD∥BH，
又∵BH⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線．
（2）解：過點O作OG⊥BC于點G，
則BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG=$\sqrt{O{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的判定、垂徑定理以及勾股定理的運用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．